Matematyka olimpijska. Równania i nierówności w.2

Tom pierwszy (ATL -żółty) przedstawia podstawowe pojęcia i metody
elementarnej Algebry i Teorii liczb.
Tom drugi (PLA -zielony) poświęcony jest podstawowym pojęciom i metodom
elementarnej Planimetrii Euklidesowej.
Tom trzeci (KOM - czerwony) dotyczy Kombinatoryki.
Tom czwarty (RIN - niebieski) dotyczy Równań i nierówności.
Tom czwarty serii Matematyka Olimpijska (RIN - niebieski), chociaż od
dawna zapowiadany, jest wciąż niedokończony. Z zaplanowanych pięciu
rozdziałów udało się jako tako zamknąć pierwsze dwa. Przedstawiamy więc
preprintową ich wersję. Materiał tego tomu miejscami odbiega od zwykłych
olimpijskich zastosowań. W trakcie lektury Czytelnik oczywiście zdobędzie
narzędzia przydatne przy rozwiązywaniu zadań olimpijskich. Ale nie tylko.
Zamysłem autorów było (i nadal jest) usystematyzowanie i pogłębienie teorii z
takimi zadaniami związanej, w szczególności, napisanie swojego rodzaju wstępu
do Analizy Matematycznej (w rozdziale 2) i Algebry Liniowej (w rozdziale 3).
Rozdział pierwszy, Prolegomena - podstawy, startuje od liczb rzeczywistych
(aksjomaty, proste wnioski i - dodatkowo - konstrukcja Dedekinda) oraz
elementarnych funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej. Po tym
przypomnieniu i lekkim usystematyzowaniu wiedzy szkolnej przechodzimy do
części olimpijskiej naszych podstaw. Mówimy o długich sumach i iloczynach
(w szczególności o transformacji Abela, czyli metodzie sumowania przez
części), a następnie o elementarnych nierównościach (Schwarza, AGH,
Bernoulliego, Jensena) oraz Rearrangement Ineguality (odpowiednie
twierdzenie, znane jako Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych, nazywamy
Twierdzeniem o Przetasowaniu), a także o kilku nierównościach geometrycznych
(nierówność Erdosa). Rozdział kończy zbiór (około dwustu) zadań treningowych z
rozwiązaniami. Rozdział drugi, Wstęp do matematyki wyższej, wprowadzi
Czytelnika jedną nogą w świat matematyki akademickiej. Uczymy się tam o
ciągach (liczbowych) i ich granicach, o ciągłości funkcji, o całce Riemanna i
o pochodnych funkcji. Dajemy tam też wstęp do teorii szeregów liczbowych.
[]